Fejsbukowa "matematyka"...

...czyli podchwytliwe zagadki.


Od czasu do czasu, na "wiodącym" portalu społecznościowym, pojawiają się "zagadki" matematyczne.
W cudzysłowiu, ponieważ jest to nie tyle klasyczna zagadka, ile równanie matematyczne, którego wynik zależy często od interpretacji i zastosowania przy jego rozwiązywaniu reguł matematycznych.
W rezultacie pojawia się wiele różnych wyników, które są, lub (przy pewnych założeniach) mogą być poprawne, lub nie.

Popatrzmy na dwa nie tak dawne przykłady.

6 / 2 x (2 + 1) = ?

8 : 4 x (3 + 1) = ?

Poziom wiedzy, jaki należy posiadać aby oba te równania rozwiązać, oscyluje wokół 4 klasy szkoły podstawowej.
Ponieważ chyba każdy chodził do szkoły podstawowej (jako, że ten etap edukacji jest obowiązkowy), tym bardziej mogą dziwić burzliwe kłótnie i obrzucanie się inwektywami w internecie.
W końcu zza klawiatury każdy jest "anonimowy" i łatwo się w ten sposób buduje poczucie własnej wartości poprzez "przywalenie z Ctrl i poprawienie spacją" ;-) - ale nie to zagadnienie jest celem tego posta.
Jednak problem stał się tak poważny (nie tylko w polskiej części internetu), że zagadnieniem zajęły się nawet internetowe wydania niektórych gazet, powołując do tablicy dyżurnych ekspertów, matematyków - którzy wyjaśniali, jak poprawnie obliczyć wynik :-)

A w czym tak naprawdę leży problem?
Z mojego, całkowicie subiektywnego, punktu widzenia jest to połączenie szeregu drobnych czynników u których podstaw leży, między innymi, zawodność ludzkiej pamięci. Mózg ludzki, pomimo tego, że jest jednym z najbardziej złożonych i do tej pory niepoznanych do końca urządzeń, ma też tendencję do przekłamywania pamiętanych faktów, ich zapominania oraz uzupełniania. Jest to tym bardziej widoczne, jeśli coś, co "pamiętamy" było nauczone wiele lat wcześniej i przez ten czas nie było odpowiednio pielęgnowane i powtarzane. Mózg zapomina - częściowo lub całkowicie - rzeczy, których nie wykorzystuje.

Drugim czynnikiem, który wpływa na różnorodność wyniku powyższych równań jest zastosowanie reguł matematycznych, których to właśnie uczyliśmy się w szkole - tzw. reguł opuszczania nawiasów.
Reguły pozwalają na uproszczenie zapisu i - pod warunkiem ich ścisłego przestrzegania - na uzyskanie zbieżnego algorytmu obliczeń prowadzących do uzyskania za każdym razem takiego samego wyniku.
Problem w tym miejscu jest taki, że mimo tego, że te reguły istnieją, nie są często poprawnie używane z uwagi na niedokładne ich pamiętanie - co od razu wpływa na wynik.
Ponadto niejednoznaczność notacji, która może być interpretowana w różny sposób - na przykład zamiana znaku ilorazu na kreskę ułamkową - "bo przecież można" oraz "to jest to samo" również wpływa na wynik, bo przy interpretacji przy pomocy wspomnianych reguł zmienia położenie nawiasów, które staraliśmy się opuścić.

I tak - paradoksalnie - reguły, które miały służyć temu, aby zapis matematyczny stał się prostszy i bardziej przejrzysty powodują, że zapisane w ten sposób równanie staje się niejednoznaczne.

Oczywiście założeniem tej "fejsbukowej matematyki" nie jest uzyskanie poprawnego wyniku, ale wywołanie takiego, a nie innego zachowania socjologicznego co, jak można było zauważyć, doskonale się udawało.

Autorzy tych zagadek oraz część tych, którzy z wyższością podali poprawny wynik mogą myśleć, że tylko pozostali, którzy podali wynik inny od zakładanego jako dobry "nie znają matematyki".
Ale czy ten wniosek jest do końca poprawny?
Należy pamiętać, że aparat matematyczny jest narzędziem.
Narzędziem, które poprawnie używane, będzie poprawnie działać. Zaś używane niepoprawnie będzie prowadzić do błędów.

Opisał to bardzo dobrze pan Zbigniew Semadeni w artykule O kolejności wykonywania działań równorzędnych dowodząc, że nie ma sztywnych, jednoznacznych oraz niekwestionowanych reguł, które dałoby się zastosować do każdego przypadku oraz, że często reguły próbuje się formułować na bazie sposobu zapisu wyrażeń w istniejących publikacjach naukowych.

Jak wcześniej wspomniałem, celem stosowania reguł opuszczania nawiasów jest uproszczenie zapisu. Lecz zastosowanie uproszczeń nie powinno prowadzić do wątpliwości interpretacyjnych.
Skoro więc takie wątpliwości się pojawiają, to być może nie jest to winą interpretującego zapis, bo za powstanie tych niejednoznaczności odpowiada tworzący ów zapis, który to tworzący nie dołożył wystarczających starań do tego, aby równanie zostało zinterpretowane zgodnie z intencją jego autora.
Jeśli autor przewiduje, że mogą pojawić się wątpliwości w interpretacji, powinien równanie zapisać w taki sposób, aby pojawienie się takowych wątpliwości wykluczyć.

I wszystko było by dobrze tyle, że intencją autorów równań tytułowej "fejsbukowej" matematyki nie jest rzetelne przekazanie określonego wyprowadzenia wyniku, ale przedstawienie go w taki sposób, aby pojawiło się jak najwięcej wątpliwości.
A to prowadzi ponownie do wniosku, że zjawiskiem powinni zajmować się psycholodzy i socjolodzy, a nie matematycy jako, że w zasadzie nie jest to problem matematyczny mimo, że została ona do tego wciągnięta jako narzędzie.

Problemem jest ponownie ludzka natura - ktoś próbuje komuś innemu coś na siłę udowodnić czerpiąc z tego, z pewnością niemałą, satysfakcję - jeśli mu się tylko uda.